Fysikkens Computere - Computerens Fysik 1

Benny Lautrup
Niels Bohr Institutet
Blegdamsvej 17
2100 København Ø

Filosofi og Naturfilosofi

Filosofien, videnskabernes dronning, har i det 20. århundrede lidt samme skæbne som mange andre kongehuse. Praktiske mennesker - forretningsmænd, ingeniører og naturvidenskabsfolk - tolererer dens eksistens, men mener i øvrigt, at den sagtens kunne undværes. Den har stadig en aura af fordums glans over sig, når den påkalder sig Platon, Kant og Descartes, men de gamle kåber er falmede og minder mere om præstens kjortel end om ingeniørens hvide kittel.

I de seneste år har etikdebatten givet kunstigt åndedræt til filosofien, men den skæmmes også af en opportunistisk jagt efter bevågenhed fra medierne og - ikke uafhængigt deraf - de bevilgende myndigheder. Et eksempel herpå er de etiske regnskaber, som visse opportunistiske filosoffer fra Handelshøjskolen nu anbefaler firmaer at udarbejde, formentlig i håb om at kunne blive revisorer på dem. På den anden side bekræfter det den blandt naturvidenskabsfolk udbredte opfattelse af filosofien som bogholder for kreativiteten.

Jordforbindelse

Modsætningsforholdet mellem naturvidenskab og filosofi stammer fra den skepsis, naturvidenskabsfolket har overfor logiske deduktioner og konstruktioner, og den respekt de har for betydningen af at erhverve viden om naturen gennem iagttagelse og eksperiment. Teorier om naturen skal `jordforbindes' - groundes - igen og igen på alle leder og kanter, fordi vi ved, hvor ofte der kan være skjulte bibetingelser, der ugylddiggør logiske konklusioner, på spil. Det er en grundlæggende erfaring fra de fleste naturvidenskaber, at naturen altid er lidt mere subtil end de forestillinger, mennesket gør sig om den på forhånd.

Naturvidenskabens udøvere er derfor overordentlig bevidste om menneskesindets fejlbarlighed og afprøver derfor skeptisk enhver teoris forudsigelser, selv om de også følger af ren logik. De stoler ikke på gammel viden, men efterprøver igen og igen om den indsigt, der blev opnået tidligere, nu også holder stik i dag. Det kan ikke nytte at slå en naturvidenskabsperson i hovedet med en gammel filosof, for hvordan kan han vide noget om den virkelighed, der er blevet afdækket efter hans død?

Det er da ganske vist, at filosofferne har sagt mange kloge ting om såkaldt `eviggyldige' eksistentielle og etiske spørgsmål, men hvor de bevæger sig ind på forholdet til den materielle virkelighed, så glemmer de ofte eller ignorerer bevidst, at dette forhold er totalt afhængigt af den viden om naturen, naturopfattelsen, som besiddes af den samtid, hvori de lever.

Demokrit havde for eksempel en ide om, at stoffet består af atomer; men hans ide var totalt forskellig fra den viden om stoffets atomare opbygning, som blev erhvervet i begyndelsen af dette århundrede. Det kan ikke nytte noget at slå en nulevende fysiker i hovedet med Demokrit, for han vil straks sige, at Demokrit vidste ikke noget om atomer. Han gættede bare.

Det vidste Bohr til gengæld, da han fremsatte sin model for atomet i 1913. Han havde lært af kemikerne i det forrige århundrede, at kemiske reaktioner mere end antydede eksistensen af atomer, og af Rutherford, at atomet havde en kerne. Alligevel ved vi også, at den opfattelse han havde i begyndelsen blev væsentligt ændret med formuleringen af kvantemekanikken ti år senere.

Naturfilosofi

Den filosofiske overbygning på naturvidenskaben, der her kaldes naturfilosofi, er derfor hele tiden i forandring parallelt med forandringerne i den herskende naturopfattelse, som erhverves gennem samtidens naturvidenskab. I naturfilosofien studeres det metaniveau, der forbinder disciplinerne i naturvidenskaben med hinanden og med det fysiske, sociale og åndelige miljø, videnskab dyrkes i. I modsætning til den sædvanlige filosofi læner naturfilosofien sig tæt op ad alle tilgængelige fakta om naturen. Den har derfor masser af jordforbindelse, den bygger ikke på lange og uigennemtrængelige tankerækker, og det hele ender ikke i en futil strid om ord.

Reduktionisme og andre modeord

Når jordforbindelsen ikke er til stede, vil et felts udvikling være præget af holdningsmodsætninger, der ofte er begrundet i smag eller mode. Begreber, der indføres af en generation af filosoffer, bliver til skældsord for den næste generation. Hvor ofte bliver min insisteren på betydningen af eksperimenter ikke mødt med en hånlig bemærkning om, at jeg lægger en positivistisk holdning for dagen. Ja, det ved Gud, jeg gør. Den positivistiske formulering af erkendelsens betingelser er ubestridt et af de store fremskridt i de sidste par hundrede år, og selv om der er rejst indvendinger mod dens mere ekstreme varianter, er grundprincipperne ikke desto mindre stadig gyldige. Det gælder jo også for egentlige jordforbundne fysiske teorier, for eksempel Newtons mekanik, at senere tiders indsigt modificerer og begrænser gyldighedsområdet uden dog at indskrænke det til ingenting.

Et andet skældsord, der ofte hægtes på mig, er, at jeg er reduktionist. En reduktionist er overbevist om, at videnskaberne vokser ud af hinanden i en træagtig struktur, og dermed besidder en hierarkisk orden, således at nogle videnskaber er underordnet andre i den forstand, at de love, der gælder for dem, kan udledes af overordnede lovmæssigheder. Det klassiske eksempel er kemien, hvis lovmæssigheder principielt følger af atomfysikkens love. Dette bekræftes af, at et stort antal kemikere til daglig og næsten udelukkende beskæftiger sig med beregninger af molekylers egenskaber ud fra kvantemekanikken. Det er imidlertid også klart, at der også er mange kemikere, der ikke tænker ret meget på kvantemekanikken, når de står og titrerer, men i stedet bruger lovmæssigheder, der udelukkende hører til på det kemiske plan. Dette ændrer dog ikke på den fundamentale reducerbarhed af de kemiske love til de fysiske.

Vitalister og mentalister

Den reduktionistiske holdning bliver vanskeligere at underbygge, men derfor ikke mindre rigtig, når det drejer sig om systemer med større kompleksitet. Medens de fleste i dag anser det for ganske afgjort, at levende cellers opførsel er bestemt af biokemiske processer, så er det endnu ikke lykkedes at gennemføre denne reduktion i alle detaljer, specielt ikke når det angår forskellen på levende og dødt stof. Men den principielle reducerbarhed af liv til biokemi er der ikke megen tvivl om længere. Vitalisterne, som hævder, at der er en reel forskel, kommer i alvorlig knibe, når man spørger dem, hvad der ellers skal til for at gøre stof levende.

Endnu vanskeligere bliver det, hvis vi betragter den tænkende hjerne og de celler, den er opbygget af. Her er der stadig en indædt modstand mod at acceptere den reduktionistiske og indrømmet ret forbløffende påstand[3], at alle udtryk for den menneskelige ånd udspringer af elektrokemiske processer i og mellem nerveceller. Medens det forrige århundredes vitalister i det væsentlige er uddøde, så lever de tilsvarende `mentalister' i dag i bedste velgående. En mentalist anser tænkende stof for at være principielt anderledes end stof, som blot er levende, men ikke tænkende. Mentalisterne kommer dog i nøjagtig samme knibe som vitalisterne, når de bliver stillet spørgsmålet om, hvad der ellers skal til for at skabe ånd.

Reduktion og emergens

At en videnskab er overordnet eller underordnet en anden, betyder ikke, at dens udøvere har en lignende intellektuel eller social rangorden. Alt for ofte kommer biologer og fysikere i konflikt med hinanden, fordi biologen opfatter fysikerens reduktionisme som et forsøg på at fratage biologien sin status som videnskab. Omvendt mener fysikeren, at biologen påkalder en indflydelse fra overnaturlige kræfter for at forklare særegne biologiske fænomener som evolution og formdannelse. Biologien er naturligvis en videnskab med sit eget domæne, men dette domæne har nogle begrænsninger i størrelsen af de fænomener, det indeholder. Bruger biologen et alt for stor forstørrelse på sit `mikroskop' bliver stoffets atomare struktur åbenbar, og dermed går de begreber, biologien arbejder med, for eksempel liv, totalt i opløsning. Fysikeren har på sin side besvær med at generalisere fra sine simple systemer til massive antal af sådanne systemer. Når et system sammensættes af et stort antal enkeltkomponenter kan nye, emergente egenskaber ved sammensætningen komme til at dominere systemets opførsel og struktur. På trods af den principielle mulighed for reduktion er det ikke altid nemt at forudsige de emergente fænomeners natur.

Computere og beregning

Computere er fysiske systemer

Umiddelbart vil man måske synes, at computere og fysik ikke har meget med hinanden at gøre. Fysikerne bruger selvfølgelig computere som redskaber til at udføre beregninger med, men det er en triviel forbindelse, som ikke behøver at nævnes. Vi nævner jo heller ikke, at fysikere bruger blyanter og viskelæder, bøger og tidsskrifter, stole og borde, kantiner og institutter, eller et utal af andre redskaber for at kunne fungere som fysikere i deres dagligdag. I princippet kunne fysikerne klare sig ganske uden brug af computere, og en del teoretikere gør det da også stadigvæk, selv om de er ved at komme i mindretal.

Det er imidlertid et uomgængeligt faktum, at alle computere er fysiske systemer, og uanset om de er opbygget af kød og blod, lodder og trisser, eller ledninger og transistorer, så er de materielle systemer, der er underkastet Naturens indbyggede love og forordninger, og dette medfører både principielle og praktiske begrænsninger på computerens funktion[5,6].

Computeren som materiel realisation af abstrakt beregning

Nu ville puristen (eller datalogen) indvende, at dette blot er et udslag af den materielle implementering, vi har valgt for den abstrakte beregningsproces. Enhver virkelig computer er blot en materiel realisation af den abstrakte Turing maskine[7], og enhver sådan realisation giver naturligvis anledning til nogle begrænsninger, ganske på samme måde som en implementering af abstrakte rumlige flytninger ved hjælp af en hest giver anledning til nogle fartbegrænsninger, som ikke gælder for andre transportmidler, for eksempel rumfærger.

Så måske er titlen på denne forelæsning i virkeligheden misvisende, fordi den antyder, at der er en relation mellem beregning og fysik - ud over den trivielle, at fysikere laver beregninger. Puristen vil hævde, at abstrakte beregninger foregår uafhængigt af fysikken, og det er kun den fysiske verdens mangel på perfekthed, som gør, at virkelige beregninger er underkastet begrænsninger.

Det lyder som ren Platon. Oppe i den Platoniske himmel sejler ideerne, de perfekte matematiske begreber, og de abstrakte beregninger rundt mellem hinanden i den skønneste harmoni. De eneste begrænsninger, de er underkastet, stammer fra logikkens ubønhørlige krav. Sarkasmen i disse bemærkninger viser, at jeg ikke helt kan bekende mig til denne opfattelse.

Hvorfor opfandt Allan Turing sin maskine?

Men det ugyldiggør naturligvis ikke, at der forekommer logiske begrænsninger på abstrakt beregning. En af disse er for eksempel Turings opdagelse i trediverne af, at der er tal, som selv om de kan defineres, dog ikke kan beregnes; et resultat der er tæt beslægtet med Gödels bevis for matematikkens ufuldstændighed. For at bevise, at der var grænse for beregnelighed, benyttede Turing et lille trick: Han implementerede de abstrakte beregninger i en ``abstrakt regnemaskine'', den der i dag kaldes Turing maskinen. Det skal bemærkes, at der også var andre, som samtidig udledte lignende resultater (for eksempel Alonzo Church), men Turing var den der bragte argumenterne på simplest form.

Turing benyttede altså en mental ``implementering'' af beregningsprocesser for at sikre sig, at der ikke var skjulte betingelser eller logiske inkonsistenser i den naive opfattelse af beregning, som herskede på den tid. Det er et ganske velkendt matematisk trick. For at efterprøve konsistensen af et aksiomsystem inden for et matematisk domæne, kan man blot implementere - afbilde - domænet på et andet, hvorom det vides, at det er modsigelsesfrit.

Turingmaskinens egen modsigelsesfrihed er intuitivt klar for os, fordi vi nemt indser, at den i princippet kan realiseres som et fysisk apparat. Dette er der nu ikke mange, der har gjort, fordi den er så primitiv og ubrugelig i praksis. Og dette selv på trods af, at en universel Turing maskine kan udføre enhver beregning, som nogen anden Turing maskine kan udføre. Men den fysiske realisationsmulighed af Turing's tankespindsmaskine tillader os at efterprøve de grundlæggende ideer for beregning på samme måde, som tankeeksperimenter i relativitetsteorien og kvantemekanikken tillader os at få greb om disse teoriers tilsyneladende paradoksale indhold. Virkeligheden er i øvrigt per definition logisk modsigelsesfri, for hvordan ville en kontradiktion se ud? Det kan jo ikke både regne og ikke regne, og en klump stof kan ikke både veje et og to kilogram. Virkeligheden lyver aldrig!

Er matematik et fundamentalt udsagn om lovmæssighed i naturen?

Måske er selve den majestætiske matematik i sidste ende også kun modsigelsesfri, fordi den anvendes som grundlæggende formuleringssprog i fysikkens modeller over virkeligheden og derfor underkastes en efterprøvning gennem materiel realisering. Jeg sympatiserer faktisk med det synspunkt, at matematikken i sidste ende også er et fundamentalt udsagn om det materielle univers, vi lever i. Ikke sådan at forstå, at det er nødvendigt at foretage egentlige eksperimenter, ligesom i fysikken, for at afgøre om den stemmer, men fordi naturen, så vidt vi ved, adlyder matematisk formulerede lovmæssigheder.

Det er måske ikke helt klart, at det ikke er nødvendigt med eksperimenter i matematikken. Et af Turings resultater var, at der ikke kan konstrueres nogen specialalgoritme, som afgør, om en vilkårlig algoritme (inklusive specialalgoritmen selv) nogensinde stopper. Gregory Chaitin[2] har vist, at sandsynligheden for at et vilkårligt program stopper er uberegnelig i Turings forstand. Kan man så i stedet måle den ved at starte en masse tilfældige programmer og observere, når de stopper? Her er problemet imidlertid, at vi er nødt til at vente meget længe for at sikre os, at et program ikke stopper. Tallet vi finder, vil derfor afhænge af den tid, der er afsat til at vente. Så eksperimentet duer altså ikke.

Eksisterer matematiske objekter?

Mange mener, at abstrakt matematik og dermed abstrakt beregning har en selvstændig eksistens på et eller andet Platonisk plan[7]. Det er også meget svært at frigøre sig for den tanke at for eksempel abstrakte grupper eller Turing maskinen har en sådan eksistens. Det betyder, at matematikerne ikke konstruerer matematikken, men i stedet går på opdagelse i det Platoniske rum og finder nye matematiske objekter og teoremer på samme måde som en biolog i Afrika finder nye fuglearter og formulerer beskrivelser af deres parringsdans.

Jeg hælder nok mere til det modsatte synspunkt, nemlig at abstrakt matematik og beregning ikke har nogen selvstændig eksistens, men jeg har ikke afklaret mit standpunkt. Et af mine argumenter er, at medens den fysiske verden formodentlig ville eksistere uafhængigt af en fortolker, så har matematikkens symbolverden kun mening i relation til en fortolkende instans. Og den eneste fortolkning af matematikken, vi kender, er den menneskelige. Set ud fra dette synspunkt er matematikken en humanistisk disciplin!

Helt så galt går det nok ikke. Mon ikke en anden intelligent race ville udvikle en matematik, som ville være isomorf med vores. De ville nok bruge andre symboler, så deres matematik ville ikke se identisk ud, men mon ikke de ville kende de samme operationer - differentiation, integration - og de samme specielle funktioner - sinus, cosinus, Bessel - som os? Eksisterer disse objekter så i en eller anden forstand? Jeg ved det ikke, men synes vi skal vente med at træffe afgørelsen, til vi møder en anden intelligent race.

Beregning kræver fortolkning

I lighed med ovenstående vil jeg hævde, at de fysiske processer, der foregår i en computer, kun har mening som realisation af abstrakt beregning relativt til en fortolker. Der findes simpelthen ikke abstrakt beregning som sådan, kun et menneskes fortolkning af et fysisk systems opførsel som beregning. En computer er altså ikke en computer, fordi den er konstrueret af IBM og kaldes sådan i reklamerne, men fordi det er muligt at fortolke dens indre processer som beregning. Uden fortolker ville den blot være et fysisk system, der gennemløb en proces, i lighed med Solsystemet. Den ville bare stå der og flippe bits uden noget formål.

Omvendt kan den rigtige fortolkning af enhver proces i et fysisk system føre til, at systemet kan opfattes som computer. Ikke i almindelighed en universel computer, men en speciel computer til et specielt formål. Således kan Solsystemet fortolkes som en computer, der løser Newton's ligninger med bestemte begyndelsesbetingelser, betingelser som vi dog ikke har kontrol over. På samme måde kan en artillerigranat, der udskydes fra en kanon, opfattes som en computer, der også løser de newton'ske ligninger for kast med luftmodstand på Jorden. Her har vi mere kontrol over begyndelsesbetingelserne, men det er ikke klart, hvad en sådan computer kan bruges til i praksis.

Hvad med robotter?

Men hvad hvis en computer hægtes direkte op på input (`sanser') og output (`muskler'), således at sensorernes input sendes ind i programmet, der omformer det til et output, som sendes direkte til motorerne. Et sådant system kaldes normalt en robot og er selvfølgelig programmeret af en programmør, der har en fortolkning af symbolerne. Men når programmet er færdigt, så er det ikke længere nødvendigt med en fortolkning. Robotten kan, hvis den er kompliceret nok, operere autonomt, og ingen vil vel hævde, at den selv fortolker symbolerne, som forekommer i det program, der kører i dens `hjerne'. Sensorer, computer og motorer virker som et samlet mekanisk system, der i grunden ikke er meget forskelligt fra en bil eller en flyvemaskine. At disse systemer mere opfattes som styrede end autonome er kun et spørgsmål om, hvorledes de kommunikerer med omgivelserne. Det meste af det, der foregår i en bil, for eksempel i cylindrene eller gearkassen, er autonomt. Førerens kontrol angår nogle få overordnede parametre, som til gengæld er vigtige for den brug, vi gør af bilen. Robotten kunne også have nogle styringshåndtag på `hovedet', som kunne betjenes af en person, der sad på dens `skuldre', og derved kommunikerede sine ønsker til robotten. Afhængigt af robottens konstruktion kunne den så reagere kortsynet deterministisk på kommunikationen eller have `fri vilje'.

Foregår der så beregning eller ikke i robottens `hjerne'? For at besvare det spørgsmål, er det nødvendigt at se lidt mere generelt på den måde, vi beskriver naturen på.

Beskrivelsesniveauer

Når vi mennesker ønsker at kommunikere med hinanden om, hvorledes vi mener, naturen er indrettet, så er det nødvendigt at etablere symbolsystemer, som tillader os at referere sprogligt til naturens fænomener og de love, der forbinder dem. Nu har det vist sig, at det er fordelagtigt og nødvendigt at have kompakte, symbolske beskrivelser, fordi vi ellers aldrig ville blive færdige med forberedelserne til kommunikationen. Husk, hvordan licentiaten i Poul Martin Møllers fortælling ikke kunne begrænse sine forberedelser til at komme til at skrive. Vi har derfor oprettet mangfoldige beskrivelsessystemer eller -niveauer - fysik, kemi, biologi, geologi, psykologi, sociologi - som uanset deres forskellighed refererer til den samme virkelighed.

Uanset symbolerne selv ingen relation har til fænomenerne (ordet hund ser ikke ud som en hund), så er niveauerne som helhed ikke helt vilkårlige, men afspejler oftest faktiske strukturer eller objekter i naturen. Fysikkens objekter er for eksempel partikler og atomer, medens biologiens er celler og levende væsener. Matematikken og datalogien ser dog ud til at være undtagelser til denne regel, selv om visse ville mene det modsatte, som omtalt ovenfor.

Det centrale ved symbolsystemerne er imidlertid, at de ikke findes i naturen, selv om de afspejler strukturer i den, men er menneskeskabte konstruktioner. Ethvert niveau har kun mening relativt til en menneskelig fortolkning, som kan være mere eller mindre hensigtsmæssig.

Et beskrivelsesniveau indebærer næsten altid, at der er en foretrukken skala for de beskrevne fænomener. Det er ofte det, der afgør hensigtsmæssigheden af symbolsystemet i en given sammenhæng. Hvis man taler om biologiske systemer er en celles størrelse karakteristisk. Derimod er et atom's størrelse ganske uanvendelig, og forsøger man at beskrive de biologiske fænomener på denne skala, fortaber selve begrebet liv sig i meningsløshed. Det er fornuftigt at anlægge en biologisk beskrivelse på en hest, medens den er mindre heldig for en sten (som biologisk set kun har en egenskab, nemlig at den er død). Det er også mere hensigtsmæssigt at vælge en sociologisk beskrivelse af Folketinget end en fysisk, selv om en folketingsdebat dybest set også er en kvantemekanisk vekselvirkning mellem elementarpartikler.

Formentlig er ingen af beskrivelserne `sand' i den forstand, at den totale virkelighed bliver afbildet i symbolsystemet, men visse af beskrivelserne på et niveau kan afledes af beskrivelserne på et andet. Men netop på grund af symbolsystemernes approksimative natur er det ikke givet, at alle detaljer i en beskrivelse kan afledes af en anden, selv om den fysiske virkelighed selv kan reduceres. Det er klart, at celler består af biomolekyler, men er biokemiens forståelse af biomolekyler god nok på nuværende tidspunkt til, at vi kan deducere cellernes egenskaber fra den?

Beregning er et beskrivelsesniveau

På samme måde kan man opfatte beregning som et beskrivelsesniveau, der passer bedre på visse systemer, for eksempel en PC, end på andre, for eksempel Solsystemet. Alle materielle systemer kan som sådan anskues på dette niveau, ligesom de kan anskues på ethvert andet niveau, men ikke alle systemer er lige velegnede til betegnelsen `computer'. Som for alle andre beskrivelsesniveauer er der også her tale om en fortolkning af virkelighedens umiddelbare fænomener, og denne fortolkning har sine egne begrænsninger og lovmæssigheder.

Er hjernen en computer?

Dette bringer os til et af de ofte forekommende spørgsmål, nemlig om hjernen er en computer, eller helt ækvivalent: er det system, der omformer robottens sensoriske input til motorisk output, en computer? Set i lyset af ovenstående er det et spørgsmål, om en beregningsmæssig beskrivelse er en hensigtsmæssig fortolkning af hjernens processer eller ej. Vil en beregningsmæssig fortolkning muliggøre en nyttig beskrivelse af dens opførsel? Svaret er altså hverken ja eller nej, men afhængigt af den grad af præcision man ønsker i beskrivelsen. Hvis man ønsker at forstå hjernen på mikroskopisk niveau, hvor ionpumper og neurotransmittere optræder, så er det sikkert mere hensigtsmæssigt at benytte biokemi som beskrivelsesniveau, eller for robottens vedkommende faststoffysik. Ligeledes hvis man ønsker at forstå hjernen på et makroskopisk niveau, så er det måske mere hensigtsmæssigt at benytte psykologiens begrebsapparat. For robottens vedkommende findes der vel også en højtliggende adfærdsbeskrivelse.

Et eller andet sted mellem disse to områder findes der formodentlig et niveau, som nedadtil grænser mod neurobiologien og opadtil mod psykologien, hvor hjernens processer måske bedst kan beskrives som beregning. For robottens vedkommende er det indlysende, hvor dette niveau befinder sig. Det er det niveau, den indbyggede computer er programmeret på.

Det interessante ved menneskets hjerne er, i modsætning til for eksempel tigerens, at den tilsyneladende umiddelbart er i stand til at fortolke nogle af sine egne processer som beregningsprocesser. Vi kan faktisk udføre det abstrakte regnestykke 2+2=4, eller endog mere komplicerede beregninger, i vores egen hjerne. Det symbolbehandlende menneskes hjerne er unik, fordi den er i stand til at opfatte en del af sin egen symbolbehandling som sådan. Det er imidlertid mere tvivlsomt, om vi umiddelbart kan opfatte andre af vores egen hjernes processer, for eksempel den visuelle processering, som beregning, selv om det meget vel kan være en hensigtsmæssig beskrivelse (for andre end os selv).

Hvor lille, hvor hurtig og hvor varm kan en computer blive?

I det følgende vil jeg omtale nogle grænser for realiserbarheden af computere. Disse grænser er ikke teknologiske, men begrænsninger på enhver mulig teknologi, som sættes af fundamentale veletablerede teorier: kvantemekanikken, relativitetsteorien og termodynamikken. De kan altså ikke omgås af en smart ingeniør.

Selv om det er muligt at tænke sig computere, der ikke opfylder disse grænser, så er det vigtigt ikke at overskride dem, selv i tankeeksperimenter. Vi er jo i stand til at tænke på mange fænomener, der ligger på den anden side af grundlæggende grænser, for eksempel Julemanden. Men det er nok klogt at undgå at bruge ham som argument i en diskussion (selv om det faktisk er det, jeg gør lige her!).

På en vis måde minder de følgende argumenter om det antropisk princip, som siger, at den videnskab, vi opstiller, ikke må forbyde eksistensen af mennesker. Man kan måske formulere et eksistentielt princip: Tankeeksperimenter er værdiløse, hvis de strider mod basal viden om naturen, såsom atomers størrelse, lysets hastighed, og universets alder og størrelse.

Kvantemekanikken sætter nedre grænse for størrelsen

En abstrakt Turing maskine fylder ingenting, medens enhver realisation af en Turing maskine derimod har en endelig udstrækning. I snart 40 år har den tekniske udvikling gjort den nødvendige størrelse mindre og mindre. En CPU-chip indeholder nu flere millioner transistorer på et område af størrelsesordenen en kvadratcentimeter. Minitiuariseringen kan imidlertid ikke fortsætte ubegrænset. Stoffets atomare opbygning sætter en absolut nederste grænse for, hvor lille en enkelt computer kan blive. Vi kan med garanti sige, at ingen computer nogen sinde bliver mindre end et brintatom, altså mindre end 10-8 cm. Kvantemekanikken, som afgør atomernes størrelse, tillader simpelthen ikke komplicerede konstruktioner på en skala, der er mindre end atomernes udstrækning.

Vi må derfor forvente, at enhver computer - også i al fremtid - vil være mange gange større end et brintatom. Hertil kan man invende, at det jo er en ret indlysende og triviel begrænsning, men vi skal se om lidt, at en seriel computer, der simulerer hjernen i realtid, ikke kan være større end et brintatom og derfor ikke kan eksistere!

Relativitetsteorien sætter nedre grænse for cykletiden

En abstrakt Turing maskine kan snurre lige så hurtigt, som man ønsker det. Der er ingen eksplicit tidslig skala bygget ind i denne abstrakte maskine, selvom der alligevel er indbygget en forestilling om, at hver operation tager et vist stykke tid, som teknisk kaldes cykletiden.

Det bliver især klart ved stopproblematikken, som handler om, at det er umuligt at konstruere en maskine (et program), som i et endeligt antal trin kan afgøre om en vilkårligt maskine (program) stopper eller ej. Ved at fyre dette program af på sig selv, kommer man ind i en løkke, der ikke stopper, og derved ikke giver et svar, i modstrid med antagelsen. Problemet er, at vi ikke har tid til at vente på et uendeligt antal trin, der alle har en mindste varighed. Hvis man i stedet forestillede sig, at hvert trin, ligesom i Zeno's paradox om Achilleus og skildpadden, tog mindre og mindre tid, så ville den abstrakte maskine kunne gennemløbe et uendeligt antal trin på en endelig tid; men det gør man altså ikke. Cykletiden, som er den tidsenhed, som måler computerinstruktioners varighed, er en karakteristisk konstant for enhver computer.

Relativitetsteorien siger, at intet signal bevæger sig hurtigere end lyset, altså hurtigere end 300.000 kilometer per sekund (dette er faktisk det centrale indhold i relativitetsteoriens forbindelse mellem tid og kausalitet). Enhver realisation af en Turing maskine skal udføre instruktion efter instruktion serielt (eller mere korrekt, sekventielt). Før og efter en instruktion bliver udført, skal hele maskinen være i en veldefineret tilstand. Det betyder, at alle dele af maskinen skal have haft tid til at kommunikere med hinanden. Det kan ikke nytte noget, hvis nogle dele af maskinen er i en tilstand og andre i en anden. Maskinen skal altså have en indre synkroniseringsmekanisme. Den kan derfor ikke gå over til en ny instruktion, før end synkroniseringen er sket, og det tager mindst lige så lang tid, som den tid lyset bruger for at passere computeren. Det er computerens absolut mindste cykletid.

Hjernen vil aldrig kunne simuleres i realtid på en seriel computer

Kombineres dette med, at en computer er mange gange større end et brintatom, kommer man til, at enhver instruktion må vare mange gange 10-18 sekund, for det er den tid det tager lyset at passere et brintatom. Den øverste grænse for, hvor mange instruktioner, en computer kan udføre per sekund, er derfor mange gange mindre end 1018, eller som det udtrykkes i computerjargon 1012 Mips. De hurtigste serielle computere i dag udfører op mod 103 Mips, så der er stadig et stort spillerum.

Det er interessant, at 1018 operationer per sekund også er af den størrelsesorden, det kan anslås at kræve for at simulere hjernen. Argumentet går på, at hjernen indeholder cirka 1011 neuroner, der hver er forbundet med op mod 104 andre neuroner. Det giver i alt 1015 forbindelser. Hver forbindelse er en kompliceret sag, hvis elektrokemiske egenskaber kan forandres gennem brugen. Nervecellers typiske cykletid er et millisekund, så en simulering af hjernen i realtid ville kræve mindst 1018 operationer per sekund - og formodentlig mange gange flere, fordi programmet skal `besøge' hver forbindelse mindst 1000 gange i sekundet for at finde ud af, hvordan den er `har det'.

Termodynamikken sætter en nedre grænse for varmeudviklingen

Den lange diskussion om termodynamik og specielt om Maxwell's djævel, som har løbet i mere end 100 år, har ledt til en forståelse af koblingen mellem computere og fysik. Resultatet er kort fortalt, at der findes en nedre grænse for den termodynamiske pris på at overskrive en bit information. Hver gang en bit overskrives, udvikles der mindst kTlog2 varme, hvor k er Boltzmann's konstant (k=1,3×10-23 joule/kelvin) og T er den absolutte temperatur. Med andre ord, ved stuetemperatur (T=300 kelvin) koster det 2,7×10-21 joule at overskrive en bit information.

Dette er faktisk fundet for prisen. Selv for verdens hurtigste computere, der måske er i stand til at overskrive 1012 bits per sekund bliver denne varmeudvikling kun på omkring en milliarddel watt. En realtids simulering af hjernen ville måske kræve overskrivning af 1018 bits per sekund, og prisen ville da være af størrelsesordenen milliwatt. Sammenlignet med hjernens faktiske energiforbrug på 20 watt er dette tal forsvindende. Det meste af hjernens energi bruges altså ikke på ånd, men til at opretholde den biokemiske implementering af den. Ren ånd er i sandhed billig!

Selv om den elektroniske computer endnu er langt fra den termodynamiske grænse, så har energiforbruget per bit aftaget eksponentielt over de sidste 40 år. Fremskriver man tendensen, vil den termodynamiske grænse blive nået omkring år 2020.

Hvad med parallellitet?

Computerens hastighed er vokset eksponentielt over de sidste 40 år. I erkendelsen af, at der er en teknologisk, såvel som principiel, grænse for serielle computere, er der nu en rivende udvikling inden for parallelle computere. Den går faktisk så hurtigt, at den effektive hastighed vil vokse mere end eksponentielt inden for de nærmeste år og nå op mod 1012 operationer per sekund (teraflops).

Der er også fundamentale grænser for parallelle computere, men de er mindre alvorlige end for de serielle. Det er ikke utænkeligt at forestille sig massivt parallelle computere med mange millioner processorer inden for de næste tiår. Deres rumlige udstrækning vil bevirke, at der er grænser for kommunikationshastigheden mellem de enkelte processorer. Den relativistiske sammenhæng mellem tid og kausalitet skal jo være opfyldt. Men da man ofte vil benytte sådanne maskiner til at simulere systemer med lokale vekselvirkninger, der også adlyder den relativistiske kausalitet, er dette problem tit overkommeligt gennem et passende valg af arkitektur.

Bryder parallelle maskiner med Turings paradigme?

Fra et matematisk synspunkt er en endelig ansamling af Turing maskiner ækvivalent med en enkelt, fordi man kan udføre en instruktion for hver maskine i en eller anden rækkefølge. Teknisk kaldes det time-slicing. Hvis man sætter tusind computere i parallel, kan de erstattes af en enkelt seriel computer, der løber tusind gange så hurtigt. Der er naturligvis nogle synkroniseringsproblemer, som vi ser bort fra her.

Så den første eksistentielle invending mod det matematiske argument er, at man ikke kan få en seriel computer til at løbe vilkårligt hurtigt. Grænsen overskrides, hvis man ønsker at sætte en milliard computere i parallel, og hvis hver kan udføre en milliard instruktioner per sekund. Dette system er kun matematisk ækvivalent med en time-sliced seriel computer, ikke reelt. En sådan parallelcomputer ville i øvrigt være stærk nok til at kunne simulere hjernen, og selv om vi er langt fra at kunne konstruere denne maskine, rejser problemet sig alligevel. Uanset Turings paradigme for beregning ikke er brudt matematisk, er det blevet brudt i praksis. En sådan maskine kan udføre beregninger, ingen seriel maskine nogensinde vil kunne udføre.

Der er imidlertid et andet argument, som antyder, at der kan være problemer, som kun kan løses på parallelle maskiner. I den massivt parallelle grænse, hvor antallet af processorer vokser ud over alle grænser mod uendelig, bryder det matematiske argument sammen, fordi det vil tage uendelig lang tid blot at løbe én gang igennem alle de enkelte processorer. Når der sættes uendelig mange processorer i parallel, så er vi helt klart ude over de begrænsninger, Turing maskinen har. Problemer, der er uløselige på en Turing maskine, fordi deres tidsforbrug vokser eksponentielt med størrelsen af problemet, bliver muligvis tilgængelige på massivt parallelle systemer.

Den termodynamiske grænse er vigtig

Nu vil matematikeren invende, at antallet af processorer jo trods alt er endeligt, og at jeg faktisk skyder mig selv i foden ved at tillade antallet at vokse ubegrænset, fordi de ville fylde hele Universet, og jeg er jo netop den, der godt kan lide begrænsnigner af denne type. Svaret herpå er, at matematikeren jo - som altid - har ret, formelt set, men at erfaringen har vist, at mange fysiske systemer, for eksempel et glas vand, bestående af et enormt antal molekyler, bedre beskrives fra den grænse, hvor antallet faktisk er uendeligt, end som en ansamling af endelig mange molekyler. Denne grænse kaldes i fysikken for den termodynamiske grænse.

I den termodynamiske grænse optræder der helt nye fænomener for systemer bestående af mange vekselvirkende `agenter'. De kan optræde i forskellige faser. For et glas vand finder vi faserne vand, damp og is. Sådanne faser beskriver kvalitativt totalt forskellige tilstande af det uendelige system, og tilnærmelsesvist meget skarpt, men dog ikke singulært, adskilte tilstande for det endelige system.

Statistisk mekanik bliver en nødvendighed for dataloger

Noget tilsvarende sker faktisk også for massiv parallel beregning. Den berømte Hopfield model for associativ hukommelse (et neuralt netværk) har flere faser, og i nogle af disse faser fungerer den som hukommelse, i andre ikke. I mange andre neurale netværk er der også forskellige faser, hvor for eksempel en optræning på erfaringsdata leder til vidt forskellige resultater.

Tilsvarende har man observeret forskellige faser for systemer af mange vekselvirkende computere i et netværk. Antallet `mange' er i dette tilfælde ikke særlig stort. Allerede ved 10 agenter viser der sig skarpt adskilte dynamiske faser. Dette fænomen, at den praktiske uendelighed ikke er særlig stor, er også velkendt for simulering af fysiske systemer.

Fremtidens dataloger kan ikke nøjes med at studere algoritmer. For at forstå massivt parallelle computere vil det blive nødvendigt at anvende de metoder, hvormed fysikken beskriver dynamiske systemer bestående af mange komponenter, et område, der kaldes statistisk mekanik.

Statistisk mekanik har allerede givet væsentlige bidrag til forståelsen af de kunstige neurale netværks evne til at oplagre information og til at generalisere ud fra et sæt eksempler. Neurale netværk bryder også med Turing paradigmet for beregning ved at de ikke er digitale computere, men derimod kontinuerte dynamiske systemer, selv om de naturligvis kan simuleres med høj præcision i digitale computere. Men hvad kan ikke det? Vi er endnu kun ved begyndelsen af forståelsen af kunstige og naturlige neurale netværk, og det er stadig uvist, hvor langt deres beregningsmuligheder rækker ud over den sædvanlige computers.

Hvad er meningen - med meningen?

Der er endnu et aspekt af forholdet mellem beregning og virkelighed, som har trængt sig på i mange år, nemlig spørgsmålet om hvad mening egentlig er, og om en sætnings mening eller et systems meningskapacitet kan karakteriseres kvantitativt.

De ord, vi bruger i tale eller skrift, er vilkårlige tegn uden særlig indre betydning. Meningen med den lyd eller det billede, som udgøres af tegnet, fremkommer først i den sproglige og kulturelle sammenhæng, hvor tegnet systematisk hører til. I ethvert sprog er der regler for, hvorledes korrekte sætninger opbygges ved at lade ord følge efter hinanden, også kaldet syntaks, og i de formelle sprog, som bruges til at programmere computere, er syntaksen faktisk hele sagen. Computeren forstår ikke de ord, som vi formulerer programmerne i. Det eneste en computer egentlig ``forstår'' er de 0'er og 1'er, også kaldet bits, som direkte svarer til elektriske spændinger i elektronikken.

Det, der sker, når vi programmerer en computer, er, at den modtager en følge af bits fra os, som den bryder op i grupper, der hvert svarer til et ``ord'' i det formelle program. Disse ord oversættes derefter en eller flere gange til andre tegn efter helt formelle regler, for til sidst igen at ende som en ny følge af bits, der er ganske forskellig fra den, vi puttede ind. Denne følge af bits er sådan indrettet, at de elektriske spændinger, den består af, vil kontrollere computerens funktion, og derved få den til at udføre den beregning, vi ønsker. Svaret på beregningen er en anden følge af bits, som programmøren kun selv kan forstå ud fra det program, han oprindelig puttede ind.

Computeren ``forstår'' ikke selv den egentlige mening med det program, den udfører. Denne mening ligger alene i hovedet på programmøren. Dette svarer ganske til, at en dansker, som oversætter fra kinesisk til japansk ved at bruge en ordbog, heller ikke forstår et kuk af det, der oversættes. På et lavere niveau forstår han ligesom computeren tegnenes strukturelle elementer - punkter og linier; ellers kunne han jo ikke sammenligne dem med hinanden.

Ord med jord

Den normale menneskelige brug af sprog adskiller sig fra computerens ved, at utallige ord er direkte forbundet med sanseindtryk. De har med et elektrikerudtryk jordforbindelse, er jordede[4]. Et menneske behøver ikke som en computer at opfatte en zebra mekanisk som en hest med striber. Når et menneske, der har været mange gange i zoologisk have, ser en zebra, sker der en umiddelbar association mellem synsindtrykket af den virkelige zebra og ordet zebra.

For at en sædvanlig computer skal kunne genkende en zebra, er det ikke blot nødvendigt, at den bliver defineret som en hest med striber. Ordene hest og striber skal også defineres, og så videre. Computeren går igennem en utrolig lang logisk kæde af definitioner inden i definitioner, førend den til sidst ender med sine jordede symboler, 0 og 1. Computeren er overordentlig god til denne formelle symbolbehandling, og den kan ofte narre os til at tro, at den virkelig forstår det, den gør.

Den naturlige intelligens hos både mennesker og dyr er karakterisk ved, at den i modsætning til computeren opererer med et meget stort antal jordede symboler, der direkte associeres med sanseindtryk. Der er ingen tvivl om, at en zebra også har automatiske associationer mellem sanseindtryk og sådanne mentale fænomener, vi ville betegne som symbolske. Mon ikke en zebra tænker på græs og på løver?

Maskiner, computere, dyr og mennesker

Mennesket har ydermere gennem sproget udviklet en formidabel evne til symbolmanipulation af samme karakter, som den computeren besidder. Vi er derfor i langt højere grad end dyrene i stand til at jonglere med logiske relationer mellem de jordede symboler i vores sind. Hvis vi karakteriserer alle informationsbehandlende systemer ved hjælp af to størrelser, nemlig antallet af jordede symboler og antallet af logiske relationer mellem dem, så har den sædvanlige computer kun få jordede symboler, men masser af relationer mellem dem, medens dyrene har mange jordede symboler, men kun få relationer mellem dem. Menneskets intelligens er unik, fordi den både benytter mange jordede symboler og et utal af relationer mellem dem.

Der er på denne måde skabt en karakterisation af maskiner og levende væsener, der tillader os at anskue deres intelligens under én synsvinkel. De to parametre, antallet af jordede symboler og antallet af etablerede logiske relationer mellem dem, udspænder et rum for mental kapacitet, hvori der er en klar adskillelse af simple maskiner, computere, dyr og mennesker. Et sådant fælles rum illustrerer den reduktionistiske anskuelse, at levende og tænkende væsener er biologisk maskineri med høj kompleksitet.

References

[1]
P. S. Churchland and T. J. Sejnowski: The Computational Brain,
The MIT Press, 1992

[2]
G. J. Chaitin: Information-theoretic Incompleteness,
World Scientific, 1992

[3]
F. Crick: The Astonishing Hypothesis,
Simon and Schuster, 1994

[4]
Stevan Harnad: The Symbol Grounding Problem,
Physica D42, 335-340 (1990)

[5]
B. A. Huberman (editor): Computation: the micro and the macro view,
World Scientific Publishing Co, Singapore, 1992

[6]
N. Metropolis and G.-C. Rota (editors): A New Era in Computation,
The MIT Press, 1993

[7]
R. Penrose: The Emperors New Mind,
Oxford University Press, 1991


Footnotes:

1Forelæsning i kurset Naturfilosofi (tilrettelagt af Claus Emmeche) den 26. oktober, 1994


File translated from TEX by TTH, version 3.00.
On 27 Aug 2001, 13:47.